Позиционная нотация

После того, как будут поняты цифры системы счисления, можно составлять из них большие числа, используя позиционную нотацию. В начальной школе учат, что позиция слева от единиц — это разряд десятков, позиция слева от десятков — это разряд сотен и т.д. Примером этого может быть десятичное число 132: в это число входит 1 сотня, 3 десятка и 2 единицы. Чему не учат в начальной школе, — так это тому, что каждый разряд числа имеет вес, вычисляемый по экспоненциальному закону. Так, разряд единиц имеет вес 10° или 1; разряд десятков имеет вес, равный 10\’ или 10; разряд сотен имеет вес 102 или 100. Показатель степени в значении веса разряда критически важен для понимания чисел, записанных в системах счисления, отличных от десятичной. Позиция слева от запятой, которая называется десятичной запятой только в десятичной системе счисления, всегда является позицией единиц в любой системе счисления. Например, позиция слева от двоичной запятой всегда будет позицией с весом 2°, т.е. 1; позиция слева от восьмиричной запятой будет иметь вес 8″ или 1. В каждом случае любое число, возведенное в степень 0 всегда будет равно 1.

Вес разряда слева от разряда единиц всегда будет равен основанию системы счисления, возведенному в степень 1; в десятичной системе это будет 10\’ или 10. В двоичной системе это будет 2\’ или 2; а в восьмеричной системе — 8\’ или 8. Таким образом, 11 в десятичной системе счисления будет иметь другое значение или количество единиц, чем 11 в двоичной системе счисления. Десятичное число в данном случае составлено из одного десятка плюс единица и имеет значение, равное 11 единиц; в го время как двоичное число 11 составлено из одной двойки плюс единица, что дает значение, равное 3 единицам. 11 в восьмеричной системе будет иметь значение, равное 9 единицам.

В десятичной системе веса разрядов справа от десятичной запятой имеют отрицательные показатели степени. Первый разряд справа от десятичной запятой имеет вес, равный 10\’1 или 0,1. В двоичной системе первый разряд справа от двоичной запятой имеет вес, равный 2\’1 или 0,5. В общем случае принципы, применяемые к десятичным числам, также применимы для любых других систем счисления.

Пример демонстрирует двоичное число 110.101 (здесь и далее, как и во всех примерах, используется запись чисел, принятая в англоязычной литературе, при которой в качестве разделителя целой и дробной части числа используется не запятая, а точка (прим, пер.)) (часто записываемое, как 110.1012). Он также показывает степень и вес или значение каждого разряда числа. Для преобразования двоичного числа в десятичное складываются веса каждого разряда, умноженные на значения соответствующих разрядов, в результате формируется десятичный эквивалент. Так, число 110.1012 будет эквивалентным десятичному 6.625 (4+2 + 0.5 + 0.125). Обратите внимание, что это будет сумма 22 (или 4) плюс 2\’ (или 2), однако 2’ (или 1) не прибавляется, поскольку в этой позиции нет цифр. Дробная часть числа формируется из 2\’1 (.5) плюс 23 (или .125), однако под 2\’2 (или .25) цифр нет, поэтому .25 не прибавляется.

Предположим, что мы хотим применить тот же метод преобразования к числу, записанному в шестиричной системе счисления, например 25.26. Пример, 1.5 показывает это число, расписанное по степеням и весам каждого разряда. В данном примере в разряде с весом 6\’ стоит цифра. Этот разряд имеет значение 12 (2 X 6) и 5 в разряде с весом 6″, который дает значение 5 (5Х 1). Все значение числа имеет значение 12 + 5, т.е. 17. Число справа от десятичной точки равно 2 под 6\’, что дает значение .333 (2 х .167). Следовательно, число 25.26 имеет значение 17.333 в десятичной системе.